Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = 1/100n-2 (km), Achilles phải mất thời gian tn= 1/100n-1 (h).Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quảng đường OA1, A1A2, A2A3, .., An-1An, ... là
T = 1 + 1/100 + 1/1002 + 1/1003 + ... + 1/100n + ... (h)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội q = 1/100, nên ta có
T = 1/(1-1/100) = 100/99 = 1 1/99(h).
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau 1 1/99 giờ.
Nghịch lý Zeno bao gồm nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực triết học được cho là do triết gia Hy Lạp Zeno xứ Elea đặt ra nhằm củng cố học thuyết "vạn vật quy nhất" của Parmenides, phủ định tính hiển nhiên của các giác quan, phủ nhận niềm tin vào có sự khác biệt hay có sự biến đổi, đặc biệt ông cho rằng mọi sự chuyển động không tồn tại vì đó chỉ là ảo giác mà thôi.Thuyết này được giả định dựa trên Đối thoại với Parmenides (phần 128c-d) của Platon, Zeno đã rút từ phần này để tạo ra những nghịch lý, bởi vì các triết gia khác cũng đã xây dựng những nghịch lý để chống lại quan điểm của Parmenides. Do đó, những nghịch lý của Zeno có thể được hiểu theo hướng nếu thừa nhận rằng mọi sự đều riêng biệt thì nó sẽ dẫn đến những vô lý còn nhiều hơn là giả định tất cả đều là "một" (Parmenides 128d). Platon làm cho Socrates phải xác nhận rằng Zeno và Parmenides có cùng một quan điểm trong lý luận.(Parmenides 128a-b).
Những lập luận này của Zeno có lẽ là những ví dụ đầu tiên của một phương pháp chứng minh thường được gọi là Reductio ad absurdum (phương pháp bác bỏ một luận đề bằng cách chứng minh, nếu lý giải chính xác theo từng chữ, nó sẽ dẫn đến một cách vô lý) hay còn được gọi là phương pháp chứng minh đảo ngược. Những nghịch lý này cũng được ghi nhận như là nguồn gốc của biện chứng pháp được Socrates sử dụng.
Achilles và con rùa
Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu.
– theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b15
Achilles - một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là "có đôi chân chạy nhanh như gió" đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng.Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A¡ cách Achilles một khoảng bằng z khác 0, thì mặc dù chạy nhanh hơn, Achilles cũng không bao giờ có thể đuổi kịp rùa.
Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết Achilles cần đi đến điểm xuất phát A1 của rùa.Nhưng trong khoảng thời gian đó, rùa đã đi đến một điểm A2 khác. Để đuổi tiếp Achilles lại phải đến được điểm A2 này. Khi Achilles đi đến điểm A2 thì rùa lại tiến lên điểm A3, ... Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.
Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết Achilles cần đi đến điểm xuất phát A1 của rùa.Nhưng trong khoảng thời gian đó, rùa đã đi đến một điểm A2 khác. Để đuổi tiếp Achilles lại phải đến được điểm A2 này. Khi Achilles đi đến điểm A2 thì rùa lại tiến lên điểm A3, ... Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.
Để đơn giản, ở đây ta chỉ xét mội trường hợp cụ thể (trường hợp tổng quát được giải quyết tương tự).Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rủa là 1 km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles 100km.Ta tính thời gian Achilles đuổi rùa, bằng cách tính tổng thời gian Achilles chạy hết các quảng đường OA1, A1A2, A2A3, .., An-1An. Nếu tổng này vô hạn thì Achilles không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là trời gian mà Achilles đuổi kịp rùa.Để chạy hết quảng đường OA1 = 100(km), Achilles phải mất thời gian t1= 100/100= 1h. Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2= 1(km).Để chạy hết quảng đường A1A2 = 1(km), Achilles phải mất thời gian t2= 1/100 (h). Với thời gian t1 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3= 1/100(km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = 1/100n-2 (km), Achilles phải mất thời gian tn= 1/100n-1 (h).Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quảng đường OA1, A1A2, A2A3, .., An-1An, ... là
T = 1 + 1/100 + 1/1002 + 1/1003 + ... + 1/100n + ... (h)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội q = 1/100, nên ta có
T = 1/(1-1/100) = 100/99 = 1 1/99(h).
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau 1 1/99 giờ.
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = 1/100n-2 (km), Achilles phải mất thời gian tn= 1/100n-1 (h).Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quảng đường OA1, A1A2, A2A3, .., An-1An, ... là
T = 1 + 1/100 + 1/1002 + 1/1003 + ... + 1/100n + ... (h)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội q = 1/100, nên ta có
T = 1/(1-1/100) = 100/99 = 1 1/99(h).
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau 1 1/99 giờ.
